Question

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N,分别为棱DD1,AB,BC的中点,求证PB⊥平面MNB1

Answer 1

连接PB，MN，B1N,B1M
设MN中点O，连接B1O,B1O和BP共面于BB1D1D,其交点Q
设正方体边长2a,求角度即可证明
RtΔBOQ和RtΔOBB1中，如果∠OBQ=∠BB1O
因为∠BB1O和∠BOB1互余，亦即∠OBQ和∠BOQ互余
BQ⊥OQ,即BP⊥OB1,
由于三角形B1MN和PMN都是等腰三角形
∴ MN⊥B1O,MN⊥PO,
∴ MN⊥平面BB1D1D,即MN⊥BP
所以，BP⊥平面B1MN
DP=a,BD=2√2a,BP=3a,sin∠DBP=1/3
MN=√2A,BO=√2A/2,B1O=3√2A/2,sin∠BB1O=1/3
∴ ∠BB1O=∠DBP
即，∠OBQ=∠BB1O
由上分析知，BP⊥平面B1MN

Answer 2

以D点为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立坐标系
设AD的长为2
PB=(2,2,-1) MN=(-1,1,0) MB1=(0,1,2)
PB×MN=0,PB×MB1=0
所以PB垂直MN，PB垂直MB1
即PB⊥面MNB1