Question

数学分析证明题

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Answer 1

楼上的做法是错的，即使对每个x都可以证明lim_{n->oo} f(x/3^n)->0也不足以得到lim_{x->0}f(x)=0

这题可以用反证法，假定结论不成立（可以是极限不存在，也可以是极限存在但非零），那么存在一个收敛于0的序列x_k使得f(x_k)收敛于一个非零常数A，然后|f(x)|的一个上界M而言，取n=log_5(2M/|A|)+1，从U*(0,η/3^n)里取一项x_k出来，并且要求|f(x_k)|>|A|/2即可得到|f(3^n x_k)|>M，矛盾

另一题也用反证法，假定有无限个a满足条件，那么从这些点里可以找到一个收敛子列{a_k}，假定其极限为A，由条件得lim_{k->oo}f(a_k)=lim_{x->A}f(x)。另一方面可以从每个a_k的小邻域里取出一点b_k满足|f(b_k)-f(a_k)|>ε，可以要求这些b_k互不相同，并且b_k总介于a_k和A之间，这样lim_{k->oo}f(b_k)≠lim_{k->oo}f(a_k)，但是lim_{k->oo}b_k=A，矛盾

Answer 2

第二题尝试证明下：
由f(3x)=5f(x)，
可以得到f(x)=5f(x/3)=5*5f(x/9)=...=5^nf(x/(3^n))。
则f(x/(3^n)) = f(x) /(5^n)。
当n趋向无穷大时，x/(3^n)趋向0。 而右侧，f(x) 有界，1/(5^n) 趋向0。
由定理，无穷小*有界函数=无穷小知，右侧的极限为0。
所有左侧极限也为0，命题得证