Question

若多项式x4-x3+ax2+bx+c能被（x-1）3整除，求a、b、c的值

若多项式x4-x3+ax2+bx+c能被（x-1）3整除，求a、b、c的值．

Answer 1

∵多项式x⁴-x³+ax²+bx+c能被（x-1）³整除，
∴设x⁴-x³+ax²+bx+c=（x+m）（x-1）³，
∴x⁴-x³+ax²+bx+c=（x³-3x²+3x-1）（x+m）=x⁴+（m-3）x³+3（1-m）x²+（3m-1）x-m，
∴

m?3＝?1 ① 3(1?m)＝a ② 3m?1＝b  ③ ?m＝c     ④

，
由①得：m=2，
将m=2代入②，有：3（1-2）=a，解得：a=-3，
将m=2代入③，有：3×2-1=b，解得：b=5，
将m=2代入④，有：2=-c，解得：c=-2，
∴a=-3、b=5、c=-2．