Question

设S n 为等差数列{a n }的前n项的和，已知a 1 +a 2 +a 6 =15，S 7 ≥49．（1）求a 3 及S 5 的值； （2

设S n 为等差数列{a n }的前n项的和，已知a 1 +a 2 +a 6 =15，S 7 ≥49．（1）求a 3 及S 5 的值； （2）求公差d的取值范围； （3）求证：S 8 ≥64．

Answer 1

（1）设等差数列{a n }的公差为d， ∵a 1 +a 2 +a 6 =a 1 +（a 1 +d）+（a 1 +5d）=15， ∴3a 1 +6d=15，即a 1 +2d=5， ∴a 3 =a 1 +2d=5， ∴S 5 = 5( a 1 + a 5 )  2 =5a 3 =25； （2）由S 7 = 7( a 1 + a 7 )  2 =7a 4 ≥49， 得到a 4 ≥7， 即a 4 =a 3 +d=5+d≥7， 解得：d≥2； （3）∵a 4 ≥7，d≥2， ∴S 8 = 8( a 1 + a 8 )  2 =4（a 1 +a 8 ） =4（2a 1 +7d）=4[2（a 1 +3d）+d] =4（2a 4 +d）≥4（2×7+2）=64． 则S 8 ≥64．