Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，函数的最小值为0，且f（﹣1+x）

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，函数的最小值为0，且f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）成立；②当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．求：（1）f（1）的值；（2）函数f（x）的解析式；（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在t∈R，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立．

Answer 1

解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立， ∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1， ∴f（1）=1； （2）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）， ∴f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1， ∴﹣  =﹣1，b=2a． ∵当x∈R时，函数的最小值为0， ∴a＞0，f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1， ∴f（x） min =f（﹣1）=0， ∴a=c． ∴f（x）=ax 2 +2ax+a． 又f（1）=1， ∴a=c=  ，b=  ． ∴f（x）=  x 2 +  x+  =  （x+1） 2 ． （3）∵当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立， ∴f（1+t）≤1，即 （1+t+1） 2 ≤1，解得：﹣4≤t≤0． 而y=f（x+t）=f[x﹣（﹣t）]是函数y=f（x）向右平移（﹣t）个单位得到的， 显然，f（x）向右平移的越多，直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标越大， ∴当t=﹣4，﹣t=4时直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标最大． ∴ （m+1﹣4） 2 ≤m， ∴1≤m≤9， ∴m max =9．