Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+3bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设a=3，S为△ABC的面积

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+3bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设a=3，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的最值．

Answer 1

（Ⅰ）由余弦定理得：cosA=

b2+c2?a2

2bc

=

? 3 bc

2bc

=-

3

2

，
∵A为三角形的内角，∴A=

5π

6

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA=

1

2

，由正弦定理得：b=

asinB

sinA

，csinA=asinC及a=

3

得：
S=

1

2

bcsinA=

1

2

?

asinB

sinA

?asinC=3sinBsinC，
则S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B-C），
则当B-C=0，即B=C=

π?A

2

=

π

12

时，S+3cosBcosC取最大值3．