Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．则

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．则：（1）f（1）=______；（2）不等式f（log2x）＜0的解集是______．

Answer 1

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（1）=0，
∴f（log₂x）＜0?f（log₂x）＜f（1），
又函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴0＜log₂x＜1，
解得：x∈（1，2）．
故答案为：（1）0；（2）（1，2）．