Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠ABC＝∠CAD. （1）若∠ABC＝20°，则∠OCA的度数为

如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠ABC＝∠CAD. （1）若∠ABC＝20°，则∠OCA的度数为 ；（2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若OD⊥AB，BC＝5，AB＝8，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）70°；（2）相切；（3）

试题分析：（1）连接OA，根据圆周角定理可求得∠AOC的度数，再根据圆的基本性质即可求得结果； （2）延长AO与⊙O相交于点E，连接EC．先根据圆周角定理求得∠ECA＝90°，再结合ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，可得∠EAC＋∠CAD＝90°，即可证得结论；     （3）设OD与AB的交点为点G．根据垂径定理可得AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，在Rt△ACG中，可得GC＝3．在Rt△OGA中，设OA＝x，根据勾股定理即可列方程求解． （1）连接OA ∵∠ABC＝20° ∴∠AOC＝40° ∵OA=OC ∴∠OCA＝70°；  （2）延长AO与⊙O相交于点E，连接EC． ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ECA＝90°， ∴∠EAC＋∠AEC＝90°． 又∵∠ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD， ∴∠EAC＋∠CAD＝90°． 即OA⊥AD，而点A在⊙O上， ∴直线AD与⊙O相切；     （3）设OD与AB的交点为点G． ∵OD⊥AB， ∴AG＝GB＝4. AC＝BC＝5， 在Rt△ACG中，可得GC＝3．   在Rt△OGA中，设OA＝x， 由OA 2 ＝OG 2 ＋AG 2 ，得x 2 ＝(x－3) 2 ＋4 2    解得x＝ ，即⊙O的半径为 ． 点评：圆的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般压轴题形式出现，难度较大.