Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）?x∈R，使f（x）≥t2-112t，求实数t的

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）?x∈R，使f（x）≥t2-112t，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)＝

?x?3，x＜? 1 2 3x?1，? 1 2 ≤x＜2 x+3，x≥2

当x＜?

1

2

，?x?3＞2，x＜?5，∴x＜-5
当?

1

2

≤x＜2，3x?1＞2，x＞1，∴1＜x＜2
当x≥2，x+3＞2，x＞-1，∴x≥2
综上所述 {x|x＞1或x＜-5}．----------------------（5分）
（2）由（1）得f(x)min＝?

5

2

，若?x∈R，f(x)≥t2?

11

2

t恒成立，
则只需f(x)min＝?

5

2

≥t2?

11

2

t?2t2?11t+5≤0?

1

2

≤t≤5，
综上所述

1

2

≤t≤5．------------------------------（10分）