Question

已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），当x∈（0，+∞）时，恒有xf′（x）＜f（-x）．若g（x

已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），当x∈（0，+∞）时，恒有xf′（x）＜f（-x）．若g（x）=xf（x），则满足g（1）＞g（1-2x）的实数x的取值范围是（　　）A．（0，1）B．（-∞，0）∪（1，+∞）C．（0，+∞）D．（-∞，0）

Answer 1

由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）=xf（x）是定义在R的偶函数．
∵当x∈（0，+∞）时，恒有xf′（x）＜f（-x），即xf′（x）+f（x）＜0．
∴g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增．
∵g（1）＞g（1-2x）=g（|1-2x|），
∴1＜|1-2x|，
∴2x-1＞1或2x-1＜-1，
解得x＞1或x＜0．
∴满足g（1）＞g（1-2x）的实数x的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．
故选：B．