Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F

如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BC=4，AB=6时，求⊙O的半径．

Answer 1

解答：解：（1）AE与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OM，
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠EBM，
∵OM=OB，
∴∠ABM=∠OMB，
∴∠OMB=∠EBM，
∴OM∥BC，
∵AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径是R，
∵AB=AC，AE⊥BC，BC=4，
∴BE=CE=2，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE，
∴

OM

BE

＝

AO

AB

，
∴

R

2

＝

6?R

6

，
解得：R=1.5，
即⊙O的半径是1.5．