Question

已知函数f（x）=ax 3 +cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2，（1）求f（x）的单调区间和

已知函数f（x）=ax 3 +cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2，（1）求f（x）的单调区间和极大值； （2）证明对任意x 1 ，x 2 ∈（-1，1），不等式| f（x 1 ）-f（x 2 ）|＜4恒成立。

Answer 1

解：（1）由奇函数的定义，应有 ，x∈R， 即 ， ∴d=0， 因此， ， 由条件f（1）=-2为f（x）的极值，必有f′（1）=0， 故 ，解得a=1，c=-3， 因此， ， ， 当 时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间 上是增函数； 当 时，f′（x）＜0，故f（x）在单调区间（-1，1）上是减函数； 当 时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间 上是增函数； 所以，f（x）在x=-1处取得极大值，极大值为f（-1）=2。 （2）由（1）知， 是减函数， 且 f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2， 所以，对任意的 ， 恒有 。