Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点（可以运动到点A和点B），连接

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点（可以运动到点A和点B），连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，①求证：AE=DF；②若EM=3，∠FEA=45°，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，请直接写出△GEF的形状，并求点F到AB的距离；（2）改变平行四边形ABCD中∠B的度数，当∠B=90°时可得到如图2所示的矩形ABCD，请判断△GEF的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，取MG中点P，连接EP，点P随着点E的运动而运动，当点E在线段AB上运动的过程中，请直接写出△EPG的面积S的范围．

Answer 1

证明：（1）①∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDM，
∵∠AME=∠DMF，
在△AME和△DMF中，

∠A＝∠FDM AM＝DM ∠AME＝∠DMF

∴△AME≌△DMF（ASA），
∴AE=DF．
②由①可得EM=FM，
∵MG⊥EF，
∴EG=FG
∴△GEF为等腰三角形．
如图1，作FH⊥BA交BA的延长线于点H，

∵EM=3，∠FEA=45°，
∴EF=6，
FH=

EF

2

=

6

2

=3

2

．
（2）△GEF是等腰直角三角形．
证明：如图2，过点G作GH⊥AD于H，

∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
∵AM=GH，
在△AEM和△HMG中，

∠AEM＝∠GMH ∠EAM＝∠MHG AM＝GH

∴△AEM≌△HMG（AAS）．
∴ME=MG．
∴∠EGM=45°．
由（1）得∴△AME≌△DMF，
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，
∴GE=GF