Question

如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A

如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动．设运动的时间为t秒．解答下列问题：（1）当0＜t≤3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与△ADE相似吗？（不必说理由）（2）连接DQ，试求当t为何值时？△ADQ为等腰三角形．（3）求t为何值时？直线PQ平分矩形ABCD的面积．

Answer 1

（1）不能相似；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，

分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，此时t=3；  
②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC-CE=6cm-2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，
由三角形的面积公式得：S_△ADE=

1

2

×AD×DE=

1

2

AE×DM，
∴DM=

12

5

cm，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=

32?( 12 5 )2

=

9

5

（cm），
∵DM⊥AQ，AD=DQ，
∴AQ=2AM=

18

5

cm（三线合一定理），
即t=

18

5

；   
③当QA=QD时，
过Q作QN⊥AD于N，
则AN=ND=

3

2

，
∵∠ADC=∠ANQ=90°
∴QN∥DC，
∵DN=AN，
∴EQ=AQ=

1

2

AE=

1

2

×5cm=

5

2

cm，
即t=

5

2

综合上述，当t为3秒或

18

5

秒或

5

2

秒时，△ADQ是等腰三角形．


（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠OCR=∠OAP，
∵在△ROC和△POA中，

∠RCO＝∠PAO OC＝OA ∠ROC＝∠POA

，
∴△ROC≌△POA（ASA），
∴CR=A