Question

为什么齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数？？

Answer 1

按矩阵理论，齐次线性方程组系数矩阵的秩不大于未知数的个数，当等于未知数的个数时，不但方程个数与未知数个数相等，而且说明各方程独立，即每一个方程都不能由其他方程代替，即此时矩阵满秩。按方程组理论，解只可能有一个，这就只能是零解。当齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数的个数时，说明独立的方程比未知数的个数少，即一个或几个方程可由其他方程推出或代替，这时设想某个或某几个未知数取任意的固定值，从而由其他方程解出其他未知数（使得在较小的规模下未知数的个数与方程个数相等），这意味着方程组有非零解。

Answer 2

未知数的个数也就是矩阵的列数，当矩阵的秩等于增广矩阵的秩且均小于系数矩阵的列数时，方程租有无穷多组解，自然有非零解，简单证明如下，可以把系数矩阵按列分块，为a1,a2......an,方程可化为，x1a1+......xnan=0(0是n×1的零向量），也就是若r(A)<n=未知数个数，则线性相关，ai不全为零