Question

已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+2k+1=0．（1）求证：该方程必有两个实数根；（2）设方程的两个实

已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+2k+1=0．（1）求证：该方程必有两个实数根；（2）设方程的两个实数根分别是x1，x2，若y1是关于x的函数，且y1=mx-1，其中m=x1x2，求这个函数的解析式；（3）设y2=kx2+（3k+1）x+2k+1，若该一元二次方程只有整数根，且k是小于0的整数．结合函数的图象回答：当自变量x满足什么条件时，y2＞y1？

Answer 1

（1）证明：∵a=k，b=3k+1，c=2k+1，
∴△=b²-4ac
=9k²+6k+1-4k（2k+1）
=9k²+6k+1-8k²-4k=k²+2k+1
=（k+1）²≥0，
∴方程必有两个实数根；

（2）解：∵方程的两个实数根分别是x₁，x₂，
∴x₁x₂=2+

1

k

，
而m=x₁x₂，y₁=mx-1，
∴y1＝(2+

1

k

)x?1；

（3）解：∵方程只有整数根且k是小于0的整数，
∴x2＝?2?

1

k

要为整数，只能

1

k

为整数，
∴k=-1，
∴y₂=-x²-2x-1，y₁=x-1，
∴y₁与y₂的交点坐标为A（-3，-4）B（0，-1），
∴在坐标系中画出两函数的图象如图所示，
由图象可知：
当-3＜x＜0时，y₂＞y₁．