Question

在光滑水平面上固定了一个半径为R的圆环，一个质量为m的小球A以初速度v0靠圆环内壁作圆周运动，小球

在光滑水平面上固定了一个半径为R的圆环，一个质量为m的小球A以初速度v0靠圆环内壁作圆周运动，小球与环壁的动摩擦系数为u，求t时刻小球的速率及所经过的路程。

Answer 1

（1）质点的法向运动微分方程： mv²/r=N.....(1)
切向运动微分方程：mdv/dt=-f.......(2)
f=μN......(3)
(1)(3)代入（2）可得：dv/dt=-μv²/r
分离变量：（1/v²)dv=-(μ/r)dt
积分上式：1/v= (μ/r)t+C 代入初始条件 t=0 v=v0解得 C= 1/v0
所以 1/v= 1/v0+(μ/r)t 即：v=v0r/(r+μv0t)
（2）由v=v0r/(r+μv0t)可得：
ds=vdt=[v0r/(r+μv0t)]dt
积分：s=(r/μ)ln(r+μv0t) + C1
代入初始条件 t=0 s=0 可得： C1=-rlnr/μ
所以：s=(r/μ)ln[1+(μv0t)/r]