Question

1+1/2+1/3+1/4+1/5+.........+1/n=? 如何运算？

Answer 1

它是实数，所以它不是有理数就是无理数具体证明过程如下：
首先我们可以知道实数包括有理数和无理数。而有理数又包括有限小数和无限循环小数，有理数都可以划成两个有限互质整数相除的形式（整数除外）。而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)通分以后的分子和分母都是无穷大，不是有限整数，且不能约分，所以它不属于有理数，因此它是无理数。
其实无穷个有理数相加未必就是有理数，而有可能等于无理数。我可以举个很简单的例子。
圆周率pi=3.1415926...是个无理数大家都知道吧，我可以把它分解成pi=3+0.1+0.04+0.001+0.0005+...的形式，等号右侧的每一项都是有理数，那么我们能说pi是有理数吗？当然不能。所以无穷个有理数相加可能是无理数。
那么为什么我说1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)是无理数而不是有理数呢？我再从一种角度给你证明。
1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)是一个无穷小数你承认吧，不然我们讨论有理数还是无理数就没什么意义了。无限循环小数都有循环节，所以无限循环小数都可以根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。
而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)不存在循环节，不可能根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。所以它终究是无理数。

这是有名的调和级数，应该是高数中的东西，这题目用n!无济于事的
当n->∞，1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞，是个发散级数
当n很大时，有个近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n)
γ是欧拉常数，γ=0.57721566490153286060651209...
ln(n)是n的自然对数（即以e为底的对数，e=2.71828...）

Answer 2

这个是化不成某一个有限形式的有理式或分式的；
而且在n趋于无穷大时，这个式子的值也趋于无穷大，没有极限。

Answer 3

解：原题就是：1+1/2+1/3+1/4+......+1/n的极限。
因为
(1＋1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6)+……
>(1/2+1/2)+(1/4+1/4)+(1/6+1/6)+……
=1＋1/2+1/3+……

可以看出，一个数会大于它本身，产生矛盾，所以它的极限是无穷大的，或者说是无极限。