Question

设a为无理数，b为有理数，证明a+b为无理数，和a不为0时a乘b为无理数

Answer 1

假设a+b=c,c是有理数,则a=c-b
又由有理数的定义可知b=p/q,c=r/s,其中p/q和r/s都是最简分数,则
c-b=p/q-r/s
=(ps-qr)/qs
p,q,r,s都是整数,所以ps,qr,qs都是整数,所以上式结果为分数(有理数).
这和a是无理数矛盾,所以a+b一定是无理数

同理,设ab=d,且b≠0,则a=d/b
若d是有理数,设d=x/y(最简分数),则d/b=(x/y)/(p/q)=qx/py
p,q,x,y都是整数,所以qx,py是整数,上式结果为分数(有理数)
和a是无理数矛盾,所以ab一定是无理数