Question

一道数高中数学题求解、

Answer 1

(1)由余弦定理得到：a^2+c^2-b^2=2ac*cosB
又由于a^2+c^2-b^2=(2√3/3)acsinB
则2ac*cosB=(2√3/3)acsinB
即 cosB=(√3/3)sinB
sinB>0,则 cosB>0
由于
cos²B+sin²B=1
于是
[(√3/3)sinB]²+sin²B=1
即sin²B=3/4
而sinB>0,则 sinB=√3/2
cosB=√3/2*(√3/3)=1/2
所以
B=π/3
(2)

因为
A+B+C=π

B=π/3
所以
C=2/3π-A
有正弦定理有
：c/sinC=b/sinB
即

c/sin(2/3π-A)=√3/(√3/2)=2
所以
c=2sin(2/3π-A)
由于 A∈(π/6,π/2)
则-π/2
<-A<-π/6
于是
2/3π-π/2 <2/3π-A<2/3π-π/6
即π/6<c<π/2
于是

1/2< sin(2/3π-A)<1
则

1<2sin(2/3π-A)<2
即
1<c<2

Answer 2

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
a=2RsinA
b=2RsinB
c=2RsinC
把上面的代入可得(4RsinA-2RsinC)cosB=2RsinBcosC
(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC
2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
2sinAcosB=sinCcosB
sinBcosC=sin(B
C)=sinA
所以cosB=1/2
sinB=根号3/2
三角形面积为1/2acsinB=1/2acX根号3/2=根号3
ac=4
则a
c>=2根号ac
a
c最小值为4
当a=c=2时