Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）在（0，...

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c （Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）在（0，1]上为增函数，求实数a的最小值； （Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x0，f（x0））处的切线为l，l与函数f（x）的图象交于另一点Q（x1，y1）．若P，Q在x轴上的射影分别为P1、Q1，OQ1=λOP1，求λ的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵b=1，∴f'（x）=3x2+2ax+1．
又因为函数f（x）在（0，1]上为增函数，
∴3x2+2ax+1≥0在（0，1]上恒成立，等价于a≥-(32x+12x)在（0，1]上恒成立．
又∵-(32x+12x)≤-232x•12x=-3，
故当且仅当x=33时取等号，而33∈(0，1]，∴a的最小值为-3．（6分）
（Ⅱ）由已知得：函数f（x）=x3+ax2+bx+c为奇函数，
∴a=0，c=0，∴f（x）=x3+bx，（7分）∴f'（x）=3x2+b．
∵切点为P（x0，y0），其中y0=f（x0），
则切线l的方程为：y=（3x02+b）（x-x0）+y0（8分）
由y=(3x02+b)(x-x0)+y0y=x3+bx，得x3+bx-[（3x02+b）（x-x0）+y0]=0．
又y0=f（x0）=x03+bx0，∴x3-x03+b（x-x0）-（3x02+b）（x-x0）=0，
∴（x-x0）（x2+x0x-2x02）=0，∴（x-x0）2（x+2x0）=0，∴x=x0或x=-2x0，
由题意知，x0≠0从而x1=-2x0．
∵OQ1=λOP1，
∴x1=λx0，
∴λ=-2．（12分）