Question

已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函数f（x）的最...

已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，f（0）=1且对称轴是x=-1，g（x）=f(x) (x＞0)-f(x) (x＜0) （1）求g（2）+g（-2）的值； （2）在（1）条件下求f（x）在区间[t，t+2]（t∈R）的最小值．

Answer 1

解：（1）由题意得f(-1)=0f(0)=1x=-b2a=-1，∴a-b+c=0c=1b=2a，∴a=1c=1b=2，
∴f（x）=（x+1）2，∴g(x)=(x+1)2 (x＞0)-(x+1)2 (x＜0)，
∴g（2）+g（-2）=8．
（2）当t+2≤-1时，即t≤-3时，
f（x）=（x+1）2在区间[t，t+2]上单调递减，∴f(x)min=f(t+2)=(t+3)2，
当t＜-1＜t+2时，即-3＜t＜-1时，
f（x）=（x+1）2在区间[t，-1]上单调递减，f（x）=（x+1）2在区间[-1，t+2]上单调递增，
∴f（x）min=f（-1）=0，
当t≥-1时，f（x）=（x+1）2在区间[t，t+2]上单调递增，
∴f(x)min=f(t)=(t+1)2，
综上所述，W=(t+3)2， t≤-30 ， -3＜t＜-1(t+1)2， t≥-1．