Question

3的x次方等于x的3次方，求x

Answer 1

即(3/5)^x
(4/5)^x=1
令f(x)=(3/5)^x
(4/5)^x
显然y=(3/5)^x在r上递减，y=(4/5)^x在r上递减
故y=f（x）=(3/5)^x
(4/5)^x在r上是减函数
又f（2）=1
故x＞2时，f（x）＜f（2）=1
x＜2时，f（x）＞f（2）=1
当且仅当x=2时，才有f（x）=1
所以f（x）=1有唯一解x=2
即3的x次方＋4的x次方＝5的x次方的唯一根为x=2

Answer 2

解由3^x=x^3
知x有解得范围是x＞0,
可当x=3时，方程成立
当x≠0时，
由3^x=x^3
得log3(3^x)=log3(x^3)
即x=3log3(x)
知利用导数可以证明x=3log3(x)的解还是x=3.且是唯一的
故综上知x=3