Question

为什么两个随机变量的和的方差等于各自方差的和？

Answer 1

1. 若两个随机变量X和Y相互独立，那么两个随机变量的和的方差等于各自方差的和：

                                   D(X+Y) = D(X)+D(Y)                   （1）

2. 这是因为：D(X+Y) = E{(X+Y)-[E(X)+E(Y)]}^2

                                 = E{[X-E(X)]+[Y-E(Y)]}^2

                                 = E[X-E(X)]^2 + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} + E[Y-E(Y)]^2

                                 = D(X) + D(Y) + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

                                 =  D(X) + D(Y)

   这是因为 X、Y相互独立，E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0          （2）

   因此：                              D(X+Y) = D(X)+D(Y)