Question

已知向量组α1α2α3线性无关,证明α1+α2,α2+α3,α1+α3 线性无关

Answer 1

证明：设k1(α1 + 2α2) + k2(α2 + 2α3) + k3(α3 + 2α1)=0，其中：k1，k2，k3为常数，得： (k1 + 2k3)α1 + (2k1 + k2)α2 + (2k2 + k3)α3=0，且α1，α2，α3线性无关→ k1 + 2k3=0 2k1 + k2=0 2k2 + k3=0 

解得：k1=k2=k3=0 

故：向量组α1 + 2α2，α2 + 2α3，α3 + 2α1线性无关。

在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

扩展资料：

齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解。

若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。

一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

参考资料来源：百度百科--线性相关

参考资料来源：百度百科--向量