Question

请教关于原函数与不定积分之间的关系

Answer 1

不定积分是所有原函数的称呼,可以理解为同一个东西,是微分的逆问题,而定积分是另一件事情.但是,函数
f（x）的定积分与这个函数的原函数F(x)
是紧密联系的.定积分是由函数话f(x)确定的的某个值（一个数）,而原函数F(x)是一个函数,它的导数是f(x),而不定积分是所有的原函数.计算一个函数的定积分,往往要用到原函数或者说不定积分,这个关系由基本定理给出.
重大的考试中,一般考定积分
.传统的数学教材都是单独一章谈谈不定积分,然后接着下一章介绍定积分.观念新的写书者不这样做：直接讲定积分,在计算定积分的时候,附带说下不定积分

Answer 2

这个积分不可积的，无论用哪种分部积分法都是积不了，但是可以用无穷的数列和表示：
∫
e^x
/
x
dx
=
∫
e^x
d(lnx)
=
e^x
*
lnx
-
∫
e^x
*
lnx
dx
这个积分不可积了。
∫
e^x
/
x
dx
=
∫
1/x
d(e^x)
=
e^x
/
x
-
∫
e^x
d(1/x)
=
e^x
/
x
-
∫
e^x
*
(-1/x²)dx
=
e^x
/
x
+
∫
e^x
/
x²
dx
反而多了个1/x，再积分只会循环下去，所以积不完。
唯一反而方法就是用无穷数列：
∫
e^x
/
x
dx
=
∫
∑(k=0到∞)
x^k
/
k!
*
1/x
dx
=
∑(k=0到∞)
1/k!
*
∫
x^(k-1)
dx
=
∑(k=0到∞)
1/k!
*
x^k
/
k
+
c
=
∑(k=0到∞)
x^k
/
(k
*
k!)
+
c