Question

在三角形ABC中,角C=90度,AC=3,BC=4,CD是斜边AB的高，点E在斜边AB上

在三角形ABC中,角C=90度,AC=3,BC=4,CD是斜边AB的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与三角形ABC的直角边相交于点F，设AE=X,三角形AEF的面积是Y.
1.线段AD的长是多少
2.若EF垂直于AB，当点E在线段AB上移动时，（1）求Y与X的函数关系式，写出自变量X的取值范围。（2）当X去何值时，Y有最大值？并求出最大值。
3.若F在直角边AC上（点F 与A.C均不重合）。点E在斜边AB上移动，问：是否存在直线EF将三角形ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出X的值，若不存在直线EF，请说明理由

Answer 1

（1）先根据勾股定理求出AB的长，再根据Rt△ADC∽Rt△ACB，利用其相似比即可求出AD的长； （2）①分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类可得x、y的函数关系式； ②根据①中所求的函数关系式求出其最值即可． （3）先求得△ABC的面积的 1/2，进而得到△AEF得到面积的函数关系式，让它等于3列式即可求解． 解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB= 根号下（3方 4方）=5， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA=∠ACB， 又∠CAD=∠CAD， ∴Rt△ADC∽Rt△ACB， ∴ AD/AC= AC/AB，即 AD/3= 3/5，AD= 95． （2）①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论： 如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤ 9/5时， ∵EF⊥AB， ∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即 AE/AC= EF/BC， ∵AC=3，BC=4，AE=x， ∴ x/3= EF/4，EF= 4/3x， S△AEF=y= 1/2AE•EF= 1/2x• 4/3x= 2/3x2． 如图B：当AD＜x≤BD，即 9/5＜x≤5时， ∵EF⊥AB， ∴Rt△BEF∽Rt△BCA， ∴ EB/BC= EF/AC， ∵AE=x，△AEF的面积为y， (5-x)/4= EF/3， ∴EF= (15-3x)/4， y= 1/2×AE×EF= 1/2x• (15-3x)/4= 15x/8- 3x2/8． ②当如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤ 9/5时， S△AEF=y= 1/2AE•EF= 1/2x• 4/3x= 2/3x2，当x=AD，即x= 9/5时，y最大= 2/3×（ 9/5）2= 54/25． 如图B：当AD＜x≤BD，即 9/5＜x≤5时， y= 1/2x× 3/4（5-x）= 15x/8- 3x2/8，y最大= 75/32，此时x=2.5＜5，故成立． 故y最大= 75/32． （3）不存在． 根据题意可知：直线EF把△ABC的周长分为相等的两部分， 即AC CF AE=FB EB，又CF FB=BC， ∴3 x 4-FB=FB 5-x，即FB=x 1， ∵sinB= AC/AB= 3/5，∴FG=FBsinB= 3/5（x 1）， 又直线EF把△ABC的面积分为相等的两部分， ∴S△EFB= 1/2EB•FG= 1/2S△ABC=6， 即 1/2（5-x）• 3/5（x 1）=6， 化简得：x2-4x 15=0， ∵△=b2-4ac=16-60=-44＜0， ∴此方程无解， 故不存在x，直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．

Answer 2

1.由面积公式得:CD=12/5,由勾股定理得：AD2+CD2=AC2,所以CD=9/5
希望有用，谢谢

Answer 3

AD=2.4
Y=2/3X^2 X的取值范围是0～1.8 X=1.8,Y有最大值最大值是2.16
不存在直线EF，

Answer 4

1.线段AD=3×3÷5=1.8
2.

Answer 5

哈哈，学校老师发的试卷吧。我也在找答案哦