Question

长方体ABCD-A1B1C1D4中，底面ABCD是边长为2的正方形;O为AC与BD交点;BB1=根号2;M是线段B1D1中点

求证D1O⊥平面AB1C

Answer 1

连结OB1，AD1，
四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC，
OD是OD1的射影，根据三垂线定理，
OD1⊥AC，
AD1^2=AD^2+DD1^2=6,
AO=√2，
OD1^2=AD1^2-AO^2=4,
OB1^2=OB^2+BB1^2=4,
在三角形D1OB1中，
OD1^2+OB1^2=4+4=8,
B1D1^2=(2√2）2=8，
OD1^2+OB^2=B1D1^2,
三角形OB1D1是直角三角形，
D1O⊥OB1，
OB1∈平面AB1C，AC∈平面AB1C，
OB1∩AC=O，
∴D1O⊥平面AB1C。