Question

|a-b|=2|b|,+|c-a|+|c+a|=4,+则(b)c的最大值为-

Answer 1

问：|a-b|=2|b|,+|c-a|+|c+a|=4,+则(b)c的最大值为-

答：亲爱的读者： 首先，我们根据题目中的第一个方程 |a-b| = 2|b|，进行变形得到：|a - b| - 2|b| = 0。从这个方程中，我们可以解读出其背后的几何意义。|a-b| 表示 a 和 b 之间的距离，而 2|b| 则表示 b 点到原点的距离的两倍。因此，这个方程告诉我们：a 点到 b 点的距离，等于 b 点到原点的距离的两倍。 我们进一步将向量 a - b 视为点 a 到点 b 的方向向量，其大小为 2|b|。而向量 g - b 则指向 b 点到重心 g 的方向，其表达式为：g - b = (a + b + c) / 3 - b = (a - 2b + c) / 3。 由于已知 |a - b| = 2|b|，我们可以推导出：|a - 2b| = |a - b - b| = |a - b| - |b| = 2|b| - |b| = |b|。这意味着向量 a - 2b 的大小也为 |b|。 进一步观察，向量 g - b 和向量 a - 2b 的大小相等，且它们的方向相反，因此它们是共线的。由于 a 和 c 可以任意取值，这意味着上式中的三个系数必须都为零。 通过解方程组，我们得到：3x^2 - 7y^2 = 0，8xy - 4y - 2x = 0，3x^2 + 2xy - 7y^2 + 1 = 0。解出以上方程，我们得到两个实数解：x = ±1/√10, y = ±√3/√10。 当 x = 1/√10, y = √3/√10 时，我们得到 b 的最大值表达式为：b = (a + √3 c) / 4。因此，(b, c) 的最大值为 (1/4, √3/4)。