Question

求正交变换x=py，将下列二次型化为标准型，f=2x1^2+x2^2-4x1x2-4x2x3

Answer 1

追问

请问特征值是怎么化成这样的，怎么才能简便求出来呢？

Answer 2

二次型的矩阵 A =
2 -2 0
-2 1 -2
0 -2 0
|A-xE| =
r1+(1/2)(2-x)r2 - r3
0 (1-x)(2-x)/2 2(1-x)
-2 1-x -2
0 -2 -x
第1行提出 (1-x), 再按第1列展开 = 2 乘
(2-x)/2 2
-2 -x
2乘到第1行上
2-x 4
-2 -x
= x^2 -2x +8 = (x-4)(x+2)
所以 |A-xE| =(1-x)(x-4)(x+2)
特征值为 1,4,-2
A-E 化成行简化梯矩阵
1 0 1
0 1 1/2
0 0 0
特征向量为: (2,1,-2), 单位化得 a1 = (2/3,1/3,-2/3)'
A-4E 化成行简化梯矩阵
1 0 -2
0 1 2
0 0 0
特征向量为: (2,-2,1), 单位化得 a2 = (2/3,-2/3,1/3)'
A+2E 化成行简化梯矩阵
1 0 -1/2
0 1 -1
0 0 0
特征向量为: (1,2,2), 单位化得 a3 = (1/3,2/3,2/3)'
则 P = (a1,a2,a3) 是正交矩阵
作正交线性变换 X = PY
则二次型 f = y1^2 + 4Y2^2 -2y3^2