Question

高中数学问题（椭圆）

椭圆x^2/45+y^/20=1的焦点分别是F1和F2，过中心O作直线与椭圆交与A,B，若△ABF2的面积是20，直线AB的方程是________

写出过程

Answer 1

有题知a²=45,b²=20,则c²=25,c=5.F2（5,0），设AB斜率存在为k，方程：y=kx,带入椭圆方程得出（4+9k²）x²-180=0,设A（x1,y1）,B(x2,y2)则x1+x2=0,x1x2=-180／(4+9k²),有弦长公式得|AB|=√（k²+1）×|x1-x2|=√(k²+1)×√[(x1+x2)²-4x1x2],带入可得
|AB|=12√5√(k²+1)／√(4+9k²).有点到直线的距离公式得三角形的高=|5k|／√(k²+1).½×|AB|×高=20，解得k=4／3或-4／3。直线方程为y=±（4／3）x。两个。

Answer 2

设直线的方程为y=kx,A（x1,yi) B(x1,y2)
联立直线和椭圆方程，有
（4+9k^2)x^2=180
得x^2=180/（4+9k^2)
从而y^2=180k^2/（4+9k^2)
由于△ABF2的面积S=1/2| OF2| |y2|+1/2|OF2||y1|
且|y1|=|y2|=6√5|k|/√(4+9k^2)
代入得：k=4/3或k=-4/3
从而直线方程为y=4/3x或y=-4/3x
(过原点和椭圆相交的直线，其交点必关于原点对称，通过x轴把面积分为两个部分，这两个部分的面积相等，且只与交点的纵坐标有关）