Question

已知a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=0,且a>b>c,求证:-1/3<c<0

Answer 1

应该是：a^2+b^2+c^2=1:
因为a+b+c=1,那么(a+b+c)^2=1
所以a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1.
又因为a^2+b^2+c^2=1,所以ab+bc+ac=0,
所以ab+c(a+b)=0,又a+b=1-c
ab=c^2-c.
得到ab=c^2-c,又a+b=1-c,利用韦达定理得a,b是方程x^2+(c-1)x+c^2-c=0的两不等实数根.故其判别式大于零,即(c-1)^2-4(c^2-c)>0,解之得-1/3<c<1.
但还没完.
由a+b+c=1得(a+b+c)^2=1,即a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1,故ab+ac+bc=0.若c>0,则a>b>c>0,那么ab+ac+bc>0与之矛盾,故c<0.
综上所述,-1/3<c<0.