Question

线性代数问题 设四阶可逆矩阵A按列分块为A=(a1，a2，a3，a4)，方阵B=(a4，a1

Answer 1

c=a+b
=（a1+a3,2a2,a3+a4,a4+a1）
则|c|
=|（a1+a3,2a2,a3+a4,a4+a1）|
提取第2列公因子2
=2|（a1+a3,a2,a3+a4,a4+a1）|
拆开第1列，变成2个行列式之和
=2(|（a1,a2,a3+a4,a4+a1）|+|（a3,a2,a3+a4,a4+a1）|)
第1个行列式，第4列减去第1列
第2个行列式，第3列减去第1列
=2(|（a1,a2,a3+a4,a4）|+|（a3,a2,a4,a4+a1）|)
第1个行列式，第3列减去第4列
第2个行列式，第4列减去第3列
=2(|（a1,a2,a3,a4）|+|（a3,a2,a4,a1）|)
第2个行列式，第1、4列对调，然后第3、4列对调
=2(|（a1,a2,a3,a4）|+|（a1,a2,a3,a4）|)
=2（|a|+|a|）
=2（2+2）
=8

Answer 2

实际上，A=BP，B=AP^(-1)
其中P是初等列变换矩阵，是两个初等矩阵的乘积：P=P(1,2)P(1,4)
P^(-1)=P(1,4)P(1,2)
Bx=b有唯一解x=B^(-1)b=(1，3，5，7)T
则Ax=b有唯一解x=A^(-1)b=(BP)^(-1)b=P^(-1)B^(-1)b
=P(1,4)P(1,2)B^(-1)b
=(7，1，5，3)T
如果交换一次例如方阵B=(a2，a1，a3，a4)的话
此时B=P^(-1)
其中P是初等列变换矩阵，P=P(1,2)
P^(-1)=P(1,2)
Bx=b有唯一解x=B^(-1)b=(1，3，5，7)T
则Ax=b有唯一解x=A^(-1)b=(BP)^(-1)b=P^(-1)B^(-1)b
=P(1,2)B^(-1)b
=(3，1，5，7)T
符号不变