Question

证明具有n个结点的二叉树,其深度至少为[log2n]+1,求详细证明?

Answer 1

证明：设所求完全二叉树的深度为k,根据完全二叉树的定义和性质2可知，k-1层满二叉树的结点个数为n时，有  2k－1－1<n≤2k-1；

即  2k－1≤n<2k；

对不等式取对数，有  k－1≤log2n<k；

由于k是整数，所以具有n个结点的二叉树,其深度至少为[log2n]+1。

扩展资料：

1、在二叉树的第k层上，最多有2k-1(k≥1)个结点；

2、 深度为m的二叉树最多有2m-1个结点，最少有m个结点；

3、对于任意一棵二叉树，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个；即如果其叶子结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；

4、具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log2n]+1,其中[log2n]+1表示取log2n的整数部分；

5、给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树；h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(n,2*n)/(n+1)。

6、具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1；

7、设完全二叉树共有n个结点。如果从根结点开始，按层序（每一层从左到右）用自然数1，2，….n给结点进行编号（k=1,2….n），有以下结论：

①若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k>1，则该结点的父结点编号为INT(k/2)；

②若2k≤n，则编号为k的结点的左子结点编号为2k；否则该结点无左子结点（也无右子结点）；

③若2k+1≤n，则编号为k的结点的右子结点编号为2k+1；否则该结点无右子结点。

参考资料来源：百度百科-二叉树

Answer 2

深度为k的二叉树的节点总数最多为1+2+4+..+2^(k-1)=2^k-1
则设n个节点的二叉树深度为m,2^m-1>=n
m>=log2(n+1)>log(2n),由于m是整数
m>=[log2n]+1,