Question

一道高中数学题 详情见图？

Answer 1

已知关于x的方程 3^(2x+1)+(m-1)[3^(x+1)-1]-(m-3)•3^x=0;
(1). 当m=4时方程为：3^(2x+1)+3•[3^(x+1)-1]-3^x=0，即 3•(3^x)²+8•3^x-3=0；
令3^x=u，则方程变为：3u²+8u-3=(3u-1)(u+3)=0
∴ u₁=1/3；u₂=-3(舍去，因为u=3^x不可能是负值）；
于是由 3^x=1/3=3^(-1)，得解 x=-1；
(2). 若方程在区间 [1，log₃4]上有唯一解，求m的取值范围。
3^(2x+1)+(m-1)[3^(x+1)-1]-(m-3)•3^x
=3•3^(2x)+3(m-1)•3^x-(m-1)-(m-3)•3^x
=3•3^(2x)+2m•3^x-m+1=3•(3^x)²+2m•3^x+1-m=0

设3^x=u；则当 x=1时u=3；当x=log₃4时u=4；
故原题可改为在当u∈[3，4]时二次函数f(u)=3u²+2mu+1-m有唯一零点；
这是关于u的二次函数，其图像是开口朝上的抛物线；其对成轴u=-2m/6=-m/3；
当对称轴u=-m/3在区间[3，4]的左侧，即-m/3<3，也就是m>-9时，有f(3)=28+5m<0....①
且f(4)=49+7m>0......②；由①得 m<-28/5；由②得 m>-7；故 -7<m<-28/5为一结论；
当对称轴u=-m/3在区间[3，4]的右侧，即 -m/3>4，也就是m<-12时，有f(3)=28+5m>0..③
且f(4)=49+7m<0.......④；由③得m>-28/5；由④得m<-7；即 -28/5<m<-7，这与m<-12矛
盾，故无此情况。
结论：当-7<m<-28/5时方程 3^(2x+1)+(m-1)[3^(x+1)-1]-(m-3)•3^x=0在区间 [1，log₃4]
上有唯一解。

Answer 2

如图所示