请教：已知五角星的外接圆半径，如何求五角星十个顶点的坐标？（有图示更好）
郭敦顒回答：
设五角星的外接圆圆心为O，半径r=10（单位长），上顶点为A（0，10），⊙O（外圆）上的其它4点按逆时针方向依次为：B、C、D、E；内圆下顶点为F，其它4点依次为G、H、I、J，连OA、OB、OC、OD、OE，OF、OG、OH、OI、OJ则AIJC，AHGD，BIHE，BJFD，EGFC均为直线，共5条，
∠EOA=360°/5=72°，OE与X轴的夹角θ=90°－72°=18°，E的坐标为E（x5，y5），则x5=10 cos18°=9.5106，y5=10sin18°=3.0902，
E的坐标为E（9.5106，3.0902）。
∵点B与E关于Y轴对称，∴B的坐标为B（－9.5106，3.0902）。
K是BIHE的中点，且OA⊥BE，∴OK=3.0902，
∠AOH=72°/2=36°，H的坐标为H（x8，y8），则
x8=3.0902 tan 36°=2.2452，y8=3.0902，
∴H的坐标为H（2.2452，3.0902），OH=√（2.2452²+3.0902²）=3.8197。
∵点I与H关于Y轴对称，∴I的坐标为I（－2.2452，3.0902）。
OH=3.8197，OF=OH，∴OF=3.8197，
F的坐标为F（0，－3.8197）。
∵∠COF=36°，C的坐标为C（x3，y3），则
x3=－10 sin36°=－5.8779， y3=－10 cos36°=8.0902，
∴C的坐标为C（－5.8779，－8.0902）。
∵点D与C关于Y轴对称，∴D的坐标为D（5.8779，－8.0902）。
∵OG=OF=3.8197，OG与X轴的夹角为－θ=－18°
G的坐标为G（x6，y6），
则x6=3.8197cos（－18°）=3.6328，y6=3.8197 sin（－18°）=－1.1804，
∴G的坐标为G（3.6328，－1.1804）。
∵点J与G关于Y轴对称，∴J的坐标为J（－3.6328，－1.1804）。
A
B I K H E
O X
J G
F
C D
长荣科机电
2024-10-27 广告
如图，
A（rcos18°，rsin18°）
B（rcos90°，rsin90°）
C（rcos162°，rsin162°）
D（rcos234°，rsin234°）
E（rcos306°，rsin306°）
OF=rsin18°/sin126°=r'
F（r'cos54°，r'sin54°）
G（r'cos126°，r'sin126°）
H（r'cos198°，r'sin198°）
I（r'cos270°，r'sin272°）
J（r'cos342°，r'sin342°）
解：不失一般性，设园的半径r=1；那么五角星的五个顶点把园周五等分。
设五个顶点按逆时针方向排列，依次为A₀，A₁，A₂，A₃，A₄；
取A₀(1，0)；A₁(cos72º，sin72º)；A₂(cos144º，sin144º)；A₃(cos216º，sin216º)；A₄(cos288º，sin288º)。
由于sin18º=(√5-1)/4；所以cos72º=sin18º=(√5-1)/4；sin72º=√(1-cos²72º)=(1/4)√(10+2√5)；
因此A₁(cos72º，sin72º)=（(√5-1)/4，(1/4)√(10+2√5))；
A₂(cos144º，sin144º)=(-(√5+1)/4，(1/4)√(10-2√5))；
A₃(cos216º，sin216º)=(-(√5+1)/4，-(1/4)√(10-2√5))；
A₄(cos288º，sin288º)=((√5-1)/4，-(1/4)√(10+2√5)).
外点
x=Rcos(72°*k) y=Rsin(72°*k) k=0,1,2,3,4
内点
r=Rsin18°/sin36°
x=rcos(72°*k+36°) y=rsin(72°*k+36°) k=0,1,2,3,4
x=Rcos(72°*k) y=Rsin(72°*k) k=0,1,2,3,4
内点
r=Rsin18°/sin36°
x=rcos(72°*k+36°) y=rsin(72°*k+36°) k=0,1,2,3,4
<收起
huamin8000 | 2012-12-05
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