Question

一道函数题 麻烦了

f(x)=(x^2+1)/(x+1)
求单调区间和极值
如果对x属于【0,1】恒有f(x)≥ax 求a的取值范围

（1）我求的导函数(x^2+2x-1)/[(x+1)^2]
然后让分子得0 求出两个解 代入原函数 结果极大值小于极小值 = =
之后就不会了。。。
（2）是不是应该讨论呀 我们刚学这里 还不太会做
麻烦给个解答 谢谢！

Answer 1

第一,导数=0未必是极值,这样做不严密.
第二,极大值可以小于极小值 你先去看看书,把极值的定义理解一下

"厂"代表根号
解：f(x)=(x^2+1)/(x+1)
求导：f'(x)=(x^2+2x-1)/[(x+1)^2]
令f'(x)>0 即x^2+2x-1>0 得x>厂2-1或x<-厂2-1
令f'(x)<0 即x^2+2x-1<0 得-厂2-1<x<厂2-1
所以f(x)的单调递增区间(负无穷,-厂2-1)和(厂2-1,正无穷）
单调递减区间（-厂2-1，厂2-1）
所以当x=-厂2-1时 f(x)有极大值-2厂2-2
当x=厂2-1时 f(x)有极小值2厂2-2

对x属于[0,1] (x^2+1)/(x+1)≥ax 恒成立
①当x=0时 1>=0 对于a取任意值成立
②当x属于(0,1] 变量分离 a<=(x^2+1)/(x^2+x) 恒成立
设g(x)=(x^2+1)/(x^2+x) 则a<=g(x) 恒成立 所以a<=g(x)的最小值
对g(x)求导：g'(x)=(x^2-2x-1)/(x^2+x)^2
令g'(x)<0 得1-厂2<x<1+厂2
又因为x属于(0,1] 所以g(X)在(0,1]单调递减 所以g(x)的最小值是g(1)=1
a<=g(x)的最小值 所以a<=1
答:a的取值范围是(负无穷，1]

不知道有没有算错啊,,路过的高手帮忙看看