Question

大学线性代数 设A，B均为n阶方阵. 1.A，B满足A+B+AB=0.证明E+A，E+B互为逆阵，

大学线性代数
设A，B均为n阶方阵.
1.A，B满足A+B+AB=0.证明E+A，E+B互为逆阵，并且AB=BA
2.若B可逆，且满足A^2+AB+B^2=0.证明：A与A+B都是可逆矩阵

Answer 1

1、A+B+AB=0，A+B+AB+E=E，(E+A)(E+B)=E，所以E+A与E+B可逆且互为逆矩阵。所以(E+B)(E+A)=E，E+A+B+BA=E，A+B+BA=0。将A+B+AB=0与A+B+BA=0联立得AB=BA。
2、A^2+AB+B^2=0，A(A+B)=-B^2。B可逆，所以-B^2也可逆，所以A与A+B都可逆。

Answer 2

引用robin_2006的回答：
1、A+B+AB=0，A+B+AB+E=E，(E+A)(E+B)=E，所以E+A与E+B可逆且互为逆矩阵。所以(E+B)(E+A)=E，E+A+B+BA=E，A+B+BA=0。将A+B+AB=0与A+B+BA=0联立得AB=BA。
2、A^2+AB+B^2=0，A(A+B)=-B^2。B可逆，所以-B^2也可逆，所以A与A+B都可逆。

(E+A)( E+B)= E+A+ B+ AB
而（E+B）（E+ A）= E+A+B+BA
矩阵乘法不满足交换律AB不等于BA
并不能直接得出互为逆阵