Question

如图,AB是圆O的直径,BD是圆O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连结AC,交圆O于点F

1：求证,BD=FD
2：若∠BAC=40°,AB=4，求弧DF的长

Answer 1

1、连接FD，因为AB为直径，所以角ADB=90度，又因BD=DC,所以AB=AC,所以角B=角C。因为角B=二分之一弧AFD，角AFD=二分之一弧ABD，且二分之一弧AFD+二分之一弧ABD=180度，所以角B+角AFD=180度，又因角AFD+角CFD=180度，所以角B=角CFD，所以角C=角CFD，所以CD=FD，又因CD=BD，所以BD=FD.
2、连接OD、OF，由AB=AC（前证）角BAC=40度，得角BAD=20度，所以角BOD=40度，由OF=OA得角AFO=角BAC=40度，所以角ADF=100度，所以角DOF=180度-角BOD-角ADF=40度。下来利用弧长公式可求夹角40度，半径=2。