Question

如图,已知抛物线y=ax2 bx 3与x轴交于A,B两点

过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3)
（1）

求抛物线的解析式
（2）在1中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，请求出D的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

1)将(1,0),(4,3)代人到y=ax²+bx+3，得，

a+b+3=0,

16a+4b+3=3

解得a=1,b=-4

所以解析式为y=x²-4x+3

 

2）点B关于抛物线对称轴的对称点为A,

连AC,就可以使得△BCD的周长最小，

此时，直线AC与对称轴的交点为D

设过A,C的直线的解析式为y=kx+b,

将(1,0),(4,3)代人到y=kx+b，得，

k+b=0,

4k+b=3,

解得k=1,b=-1

所以直线为y=x-1

抛物线对称轴为x=2

当x=2时，y=x-1=2-1=1

所以点D(2，1)