Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若f(x

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若f(x)＝12cos2x?23cosx+12，求f（A）的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）法1：∵asinB-bcosC=ccosB，
由正弦定理可得：sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB．
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB，
∴sin（C+B）=sinAsinB，
∵在△ABC中，A+B+C=π，即C+B=π-A，
∴sin（C+B）=sinA=sinAsinB，又sinA≠0，
∴sinB=1，即B=

π

2

，
则△ABC为B=

π

2

的直角三角形；
法2：∵asinB-bcosC=ccosB，
由余弦定理可得asinA=b?

a2+b2?c2

2ab

+c?

a2+c2?b2

2ac

，
整理得：asinB=a，
∵a≠0，∴sinB=1，
∴在△ABC中，B=

π

2

，
则△ABC为B=

π

2

的直角三角形；
（Ⅱ）∵f（x）=

1

2

cos2x-

2

3

cosx+

1

2

=cos²x-

2

3

cosx
=（cosx-

1

3

）²-

1

9

，
∴f（A）=（cosA-

1

3

）²-

1

9

，
∵△ABC为B=

π

2

的直角三角形，
∴0＜A＜

π

2

，且0＜cosA＜1，
∴当cosA=

1

3

时，f（A）有最小值是-

1

9

，
则f（A）的取值范围是[-

1

9

，

1

3

）．