过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点A做斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知A
过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点A做斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知AB＝613BC．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线...
过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点A做斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知AB＝613BC．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．
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（Ⅰ）∵A（-a，0），设直线方程为y=2（x+a），B（x1，y1）
令x=0，则y=2a，∴C（0，2a），----------------------（2分）
∴
＝(x1+a，y1)，
＝(?x1，2a?y1)----------------------（3分）
∵
＝
，
∴x1+a=
(?x1)，y1＝
(2a?y1)，整理得x1＝?
a，y1＝
a--------------------（4分）
∵B点在椭圆上，∴(
)2+(
)2?
＝1，∴
＝
，----------------------（5分）
∴
＝
，即1?e2＝
，∴e＝
----------------------（6分）
（Ⅱ）∵
＝
，可设b2=3t．a2=4t，
∴椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0----------------------（7分）
由
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12t=0----------------------（8分）
∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P
∴△=0，即64k2m2-4（3+4m2）（4m2-12t）=0
整理得m2=3t+4k2t----------------------（9分）
设P（x1，y1）则有x1＝?
＝?
，y1＝kx1+m＝
∴P(?
，
)----------------------（10分）
又M（1，0），Q（4，4k+m）
若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，
∴(1+
，?
)?(?3，?(4k+m))＝0恒成立
整理得3+4k2=m2，----------------------（12分）
∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1
∴所求椭圆方程为
+
＝1----------------------（13分）
令x=0，则y=2a，∴C（0，2a），----------------------（2分）
∴
| AB |
| BC |
∵
| AB |
| 6 |
| 13 |
| BC |
∴x1+a=
| 6 |
| 13 |
| 6 |
| 13 |
| 13 |
| 19 |
| 12 |
| 19 |
∵B点在椭圆上，∴(
| 13 |
| 19 |
| 12 |
| 19 |
| a2 |
| b2 |
| b2 |
| a2 |
| 3 |
| 4 |
∴
| a2?c2 |
| a2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）∵
| b2 |
| a2 |
| 3 |
| 4 |
∴椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0----------------------（7分）
由
|
∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P
∴△=0，即64k2m2-4（3+4m2）（4m2-12t）=0
整理得m2=3t+4k2t----------------------（9分）
设P（x1，y1）则有x1＝?
| 8km |
| 2(3+4k2) |
| 4km |
| 3+4k2 |
| 3m |
| 3+4k2 |
∴P(?
| 4km |
| 3+4k2 |
| 3m |
| 3+4k2 |
又M（1，0），Q（4，4k+m）
若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，
∴(1+
| 4km |
| 3+4k2 |
| 3m |
| 3+4k2 |
整理得3+4k2=m2，----------------------（12分）
∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1
∴所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
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