如图,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,点D是弧ABC的中点,弦DE⊥AB,垂足为点F,DE交AC于点G.(1)图

如图,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,点D是弧ABC的中点,弦DE⊥AB,垂足为点F,DE交AC于点G.(1)图中有哪些相等的线段;(要求:不再标注其他字母,找结论... 如图,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,点D是弧ABC的中点,弦DE⊥AB,垂足为点F,DE交AC于点G.(1)图中有哪些相等的线段;(要求:不再标注其他字母,找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中,不写推理过程)(2)若过点E作⊙O的切线ME,交AC延长线于点M(请补完整图形),试问.ME=MG是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)在满足第(2)问的条件下,已知AF=3,FB=43,求AG与GM的长.(第(1)问中的结论可直接利用) 展开
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暮年10846
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(1)AO=OB,DF=EF,AC=DE,AG=DG,CG=GE;

(2)ME=MG成立,
证明:连接AD、AE,
AD
=
CD

∴∠DEA=∠CAD,
∵∠EGM=∠DEA+∠EAM,
∴∠EGM=∠EAM+∠CAD=∠EAD;
∵EM是⊙O的切线,
∴∠GEM=∠EAD,
∴∠EGM=∠GEM,
∴ME=MG;

(3)连接BC,
∵DF⊥AB,AF=3,FB=
4
3

∴DF2=AF?FB=4,
∴DF=2;
由(1)知:AC=DE=2DF=4,
由Rt△ABC∽Rt△AGF,得:
AG
AB
=
AF
AC
?AG=
AB?AF
AC
=
(3+
4
3
)×3
4
=
13
4

由切割线定理得:EM2=MC?MA,即MG2=(MG-GC)(MG+AG)
∴MG2=[MG-(4-
13
4
)](MG+
13
4

∴MG=
39
40
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