Question

初三数学竞赛题

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,1），点B为y轴负半轴上的动点，以线段AB为边作菱形ABCD，其对角线的交点M恰好在x轴上，设点D的横坐标为X，纵坐标为Y
（1）求点M的坐标
（2）求Y与X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围
（3）若点P事（2）中函数图像上的动点，点Q（0，t）是定点，是否存在平行于X轴的直线L，使得直线L被以线段PQ为直径的圆截得的弦长始终为定值？若存在，求t的取值范围和直线L的解析式（用含t的代数式表示）；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）M点为对称中心，故M点坐标为(x/2，0)
（2）过D作DN⊥y轴于N，则|ON|=y，|DN|=x，|NA|=1-y， |CD|=1+y，|AD|=|CD|，
|AD|^2=|NA|^2+|DN|^2，即(1+y)^2=(1-y)^2+x^2，
化简得y=(x^2)/4 (x≥1)
（3）设P点为(x0,(x0^2)/4)，则以PQ为直径的圆的圆心为(x0/2,(x0^2)/8+t/2)，
圆方程为：(x-x0/2)^2+[y-(x0^2)/8-t/2]^2={x0^2+[(x0^2)/4+t]^2}/4
化简得：x^2-x0x+y^2-[(x0^2)/4+t]y=0
设直线L方程为y=b，则与圆的交点坐标可用下面方程求得：
x^2-x0x+b^2-[(x0^2)/4+t]b=0，
设两交点为的x坐标为x1，x2，则截得的线段长度为x2-x1
(x2-x1)^2=(x2+x1)^2-4x1x2=x0^2-4*{b^2-[(x0^2)/4+t]b}
=(1-b)x0^2-4b^2+4bt
要使上式为定值，则必须使b=1，此时(x2-x1)^2=-4+4t≥0，即t≥1
故存在这样的弦，使其长为定值，此时直线L解析式为y=1，t范围是t≥1
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Answer 2

1)M(x/2,0)
2)