Question

选修4-1：几何证明选讲如图，A、B、C是圆O上三点，AD是∠BAC的角平分线，交圆O于D，过B作圆O的切线交AD的

选修4-1：几何证明选讲如图，A、B、C是圆O上三点，AD是∠BAC的角平分线，交圆O于D，过B作圆O的切线交AD的 延长线于E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）求证：AB?DE=CD?BE．

Answer 1

证明：（I）∵BE切圆O于点B，∴∠EBD=∠BAD．
又∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，可得弧BD=弧CD，
∴∠CBD对弧BD，∠BAD对弧CD，∴∠BAD=∠CBD，
因此，可得∠EBD=∠CBD；
（II）∵∠BEA=∠DEB，∠EBD=∠EAD，
∴△ABE∽△BDE，可得

AB

BD

＝

BE

DE

，即AB?DE=BD?BE．
∵由（I）的证明得弧BD=弧CD，可得BD=CD，
∴AB?DE=CD?BE．