Question

设函数f(x)＝13x3?a2x2+bx+c，其中a＞0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为x轴（1）若x=1为f

设函数f(x)＝13x3?a2x2+bx+c，其中a＞0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为x轴（1）若x=1为f（x）的极值点，求f（x）的解析式（2）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围．

Answer 1

由f(x)＝

1

3

x3?

a

2

x2+bx+c得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．
又由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为x轴，得f（0）=0，f'（0）=0．
故b=0，c=0．（2分）
（I）又f'（1）=0，
所以a=1，f(x)＝

1

3

x3?

1

2

x2（4分）
（II）f(x)＝

1

3

x3?

a

2

x2，f′(x)＝x2?ax．由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化简得

2

3

t3?

a

2

t2+2＝0，即t满足的方程为

2

3

t3?

a

2

t2+2＝0．（6分）
过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）
有三个相异的实根，即等价于方程

2

3

t3?

a

2

t2+2＝0有三个相异的实根.设g(t)＝

2

3

t3?

a

2

t2+2．g′(t)＝2t2?at＝2t(t?

a

2

)．由于a＞0，
故有
由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有三个相异的实根，
当且仅当

g(0)＞0 g( a 2 )＜0

时满足，
即

2＞0 2? a3 24 ＜0

，a＞2

3	6

．
∴a的取值范围是(2

3	6

，+∞).（12分）