Question

（本小题满分12分）已知函数 ．(1)判断其奇偶性;(2)指出该函数在区间 上的单调性并证明;(3)利用(1)和(2

（本小题满分12分）已知函数 ．(1)判断其奇偶性;(2)指出该函数在区间 上的单调性并证明;(3)利用(1)和(2)的结论,指出该函数在 上的增减性.（不用证明）

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Answer 1

（1） 是奇函数；（2） 在 上是增函数。（3）由于 是 上的奇函数，在 上又是增函数，因而该函数在 上也是增函数。

本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，其中掌握函数奇偶性与单调性的定义及判定方法是解答本题的关键． （1）由已知易判断出函数的定义域为R，关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可根据函数奇偶性的定义，进行判断得到结论； （2）任取x 1 、x 2 满足0＜x 1 ＜x 2 ＜1，并做出f（x 1 ）-f（x 2 ）的差，利用实数的性质，判断出f（x 1 ）与f（x 2 ）的大小，根据函数单调性的定义，即可得到答案； （3）由（1）可得函数为奇函数，由（2）可得函数在（0，1）上为增函数，根据奇函数在对称区间上单调性相同，即可得到答案． 解：（1）函数的定义域为 …………. 2分 是奇函数…………. 4分 （2）函数 在 上是增函数 证明：设 ，则 …………. 8分 ， 因此函数 在 上是增函数………. 10分 （3）由于 是 上的奇函数，在 上又是增函数，因而该函数在 上 也是增函数………. 12分