根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=-x 3 +1在（-∞，+∞）上是减函数
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| 证明：证法一：在（-∞，+∞）上任取x 1 ，x 2 且x 1 ＜x 2 则f（x 2 ）-f（x 1 ）=x 1 3 -x 2 3 =（x 1 -x 2 ）（x 1 2 +x 1 x 2 +x 2 2 ） ∵x 1 ＜x 2 ， ∴x 1 -x 2 ＜0． 当x 1 x 2 ＜0时，有x 1 2 +x 1 x 2 +x 2 2 =（x 1 +x 2 ） 2 -x 1 x 2 ＞0； 当x 1 x 2 ≥0时，有x 1 2 +x 1 x 2 +x 2 2 ＞0； ∴f（x 2 ）-f（x 1 ）=（x 1 -x 2 ）（x 1 2 +x 1 x 2 +x 2 2 ）＜0． 即f（x 2 ）＜f（x 1 ） 所以，函数f（x）=-x 3 +1在（-∞，+∞）上是减函数． 证法二：在（-∞，+∞）上任取x 1 ，x 2 ，且x 1 ＜x 2 ， 则f（x 2 ）-f（x 1 ）=x 1 3 -x 2 3 =（x 1 -x 2 ）（x 1 2 +x 1 x 2 +x 2 2 ）． ∵x 1 ＜x 2 ， ∴x 1 -x 2 ＜0． ∵x 1 ，x 2 不同时为零， ∴x 1 2 +x 2 2 ＞0． 又∵x 1 2 +x 2 2 ＞
∴x 1 2 +x 1 x 2 +x 2 2 ＞0， ∴f（x 2 ）-f（x 1 ）=（x 1 -x 2 ）（x 1 2 +x 1 x 2 +x 2 2 ）＜0． 即f（x 2 ）＜f（x 1 ）． 所以，函数f（x）=-x 3 +1在（-∞，+∞）上是减函数． |
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