Question

已知函数f(x)＝ax?1ax+1，其中a＞0且a≠1．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并

已知函数f(x)＝ax?1ax+1，其中a＞0且a≠1．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明．

Answer 1

（1）由题意得f（x）的定义域为R，
且f(?x)＝

a?x?1

a?x+1

＝

1?ax

1+ax

＝?

ax?1

ax+1

＝?f(x)，-------------（2分）
∴f（x）是奇函数．------------------------------------------------（4分）
证明：（2）设x₁＜x₂，则f(x1)?f(x2)＝

ax1?1

ax1+1

?

ax2?1

ax2+1

＝

2(ax1?ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

．--------------------（6分）
当a＞1时，ax1?ax2＜0，得f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
这时f（x）在R上是增函数；-------------------------------------------------------------（9分）
当0＜a＜1时，ax1?ax2＞0，得f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），
这时f（x）在R上是减函数．-----------------------------------------（12分）