Question

已知函数f（x）=xlnx+ax2，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过坐标原点，求a的值；

已知函数f（x）=xlnx+ax2，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过坐标原点，求a的值；（2）若函数y=f（x）在区间（0，1）内不单调，求a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）=xlnx+ax²，
则f′（x）=1+lnx+2ax，f′（1）=1+2a，f（1）=a，
∴切线方程为y-a=（1+2a）（x-1），
由题意知，-a=（1+2a）?（-1），解得a=-1．
（2）f′（x）=1+lnx+2ax，要使函数f（x）在区间（0，1）内不单调，
则只需f′（x）的函数值在（0，1）内，有正有负．
令g（x）=1+lnx+2ax，则g′（x）=

1

x

+2a，
而x∈（0，1），

1

x

＞1．
当2a≥-1，即a≥-

1

2

，g′（x）＞0，
g（x）在（0，1）内单调递增，又x→0，g（x）→-∞，
∴只需g（1）=1+2a＞0，即a＞-

1

2

，∴a＞-

1

2

，
当2a＜-1，即a＜-

1

2

，g（x）在（0，-

1

2a

）上单调递增，在（-

1

2a

，1）上单调递减，
∴只需g（-

1

2a

）＞0，即ln（-

1

2a

）＞0，∴a＞-

1

2

矛盾，舍去，
综上，a＞-

1

2

．